Stokastinen analyysi, kevät 2008 (10 op, 5 ov)

Luennoija

Dario Gasbarra, vastaanotto pe 12–14 A407.

Kurssikokeet

Kurssi suoritetaan kahdella välikoeella. Viikottaisista laskuharjoituksista saa lisää pisteitä.

Esitiedot

Todennäköisyysteoria.

Sisältö

Kurssi käsittelee jatkuvien martingaalien teoriaa.

I. Diskreetti aikanen martingaali teoriaa. Tasaisesti integroituvia martingaalit, neliö integroituvia martingaalit martingaali konvergenssi lause , Doobin maksimaalinen epäyhtälö.

II. Stokastiset prosessit jatkuvassa ajassa. Brownin liike, sen konstruktioita ja ominaisuuksia. Levy prosessien perusmääritelmät. Markovin prosessit. Feller prosessit, Vahva Markovin ominaisuus.

III. Iton kalkyyli: Rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja Stiletjes integraalit. Qvadraattinen variaatio, Iton isometria Brownin liikkeelle ja Ito integraali. Burkholder Davis Gundy epäyhtälö. Föllmerin poluttainen integraali, Iton kaava, Lokaali aika, Ito-Tanakan kaava.

IV Mitan vaihto: Girsanovin kaava, stokastinen eksponentiaali, Gronwallin lemma. Sovelluksia stokastisen filteroinnin teoriaan.

V. Stokastiset differentiaali yhtälöt, heikot ja vahvat ratkaisut, martingaali ongelma. Sovelluksia: Probabilistiset ratkaisut osittaisdifferentiaali yhtälöille. Kakutanin lause, Feynman-Kac kaava.

VI. Ito-Clarck martingaali esitys lause. Sovelluksia: optioiden hinnoittelu Black & Scholes osake mallissa.

Luento- ja harjoitusajat

Luennot ti 12–14 B322 ja to 10–12, C122 (Huom.: luokka vaihtunut ), laskuharjoitukset (pitäjä Mikko Pakkanen) ke 12–14, B321. Kurssi kestää koko kevään eli periodit III ja IV ( ensimmäinen luento ti 15.1).